Question

已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（1）当a=2时，证明函数f（x）是增函数；
（2）当x≥1时，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函数f（x），对其进行求导，证明其导数大于0即可；
（2）已知x≥1时，g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，证明g（x）的最小值大于0即可，利用导数研究函数g（x）的最值问题，从而求出实数a的取值范围；

解答：解：（1）a=2，可得f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，
可得f′（x）=e^-x-xe^-x+xe^x-2-e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x），
令g（x）=e^x-2-e^-x，g′（x）e^x-2+e^-x＞0，是增函数，
g（1）=0，
当x≥1时，x-1≥0，g（x）≥g（1）=0，∴f′（x）≥0，f（x）为增函数；
当x＜1时，x-1＜0，g（x）＜g（1）=0，∴f′（x）＞0，f（x）为增函数；
综上：当a=2时，证明函数f（x）是增函数，即证；
（2）当x≥1时，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，令g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，
可知y=

(x-1)2

ex

在x≥1上是减函数，
对于函数f′（x）=（x-1）（e^x-a-e^-x），在x≥1上是增函数，
∴g（x）在x≥1上是增函数，
可得g（x）_min=g（1），∵当x≥1时，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，
可得，g（1）≥0，可得
g（1）=e^-1-e^1-a≥0，解得a≥2；

点评：此题主要考查函数的单调性及其证明，本题利用导数进行证明需要进行二次求导，是一道好题，解题过程中用到了分类讨论的思想；