Question

在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为

7

25

．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
（Ⅱ）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M、N两点，求|

BM

|•|

BN

|的最小值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2c=|AB|，由余弦定理可得cosC=

|CB|2+|CA|2-62

2|CB|•|CA|

=

(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36

2|CB|•|CA|

=

2a2-18

|CB|•|CA|

-1及基本不等式|CA||CB|≤(

2a

2

)2=a2，可得cosC≥1-

18

a2

，从而可求a，及C点的轨迹方程
（Ⅱ）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（1）当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k（x+3）代入椭圆方程化简，显然有△≥0，由椭圆第二定义可得|

BM

|•|

BN

|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2及方程的根与系数的关系可求|BM|•|BN|取最小值，（2）当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3，得 |

BM

|•|

BN

|=(

34

5

)2＞16，结合椭圆

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故k≠0，这样的M、N不存在．

解答：解：（Ⅰ） 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设|CA|+|CB|=2a（a＞3）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
所以焦距 2c=|AB|=6
因为cosC=

|CB|2+|CA|2-62

2|CB|•|CA|

=

(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36

2|CB|•|CA|

=

2a2-18

|CB|•|CA|

-1
又 |CA||CB|≤(

2a

2

)2=a2，
所以cosC≥1-

18

a2

，
由题意得 1-

18

a2

=

7

25

，∴a²=25
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P（0，±4）．
所以C点的轨迹方程为 

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0) 
（Ⅱ）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
（1）当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k（x+3）代入椭圆方程化简，得 
(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0
显然有△≥0，所以 x1+x2 =-

150k2

16+25k2

，x1x2=

225k2-400

16+25k2

而由椭圆第二定义可得|

BM

|•|

BN

|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2
=25+

450k2

16+25k2

+

81k2-144

16+25k2

=25+

531k2-144

16+25k2

=25+

531

25

•

k2- 144 531

k2+ 16 25

只要考虑 

k2- 144 531

k2+ 16 25

的最小值，即考虑1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

取最小值，
∴当k=0时，|

BM

|•|

BN

|取最小值16；
（2）当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3，得 |

BM

|•|

BN

|=(

34

5

)2＞16
但

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故k≠0，这样的M、N不存在，即|

BM

|•|

BN

|的最小值的集合为空集

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程，利用函数的性质求解函数的最值问题，综合性强．