Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）求的取值范围．

Answer 1

（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，
∴b=，
∵椭圆的离心率为，
∴
∴，∴，
∴椭圆C的方程为
（2）证明：设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）
将直线PB：y=代入椭圆，可得[3+]x²-+-12=0
设E（x₁，y₁），则x₁+x₀===
∴，∴y₁=
∴直线AE：
化简可得
∴直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）
（3）解：由（2）知x₁+x₀=，x₁x₀=，y₁y₀==
∵=x₁x₀-y₁y₀，
∴=-=
设5-2x₀=t，∵x₀∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴=-+
∵t∈（1，9），∴
∴（-4，]
分析：（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C的方程；
（2）设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），将直线PB：y=代入椭圆，可得[3+]x²-+-12=0，从而可得E的坐标，从而可得直线AE的方程，进而可知直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）由（2）知x₁+x₀=，x₁x₀=，y₁y₀==，=x₁x₀-y₁y₀，从而可得=，设5-2x₀=t，进而可确定的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量知识的运用，同时考查学生分析解决问题的能力与计算能力．