Question

20、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A₁C₁的中点．
（1）求证：面MNP∥面A₁C₁B；
（2）求证：MO⊥面A₁C₁．

Answer 1

分析：（1）利用MN为△DD₁C的中位线，可得MN∥D₁C，再由正方形的性质可得D₁C∥A₁B，可证MN∥A₁B．
 同理证MP∥C₁B，从而证得面MNP∥面A₁C₁B．
（2）连接C₁M和A₁M，利用勾股定理可得C₁M=A₁M，故△A₁C₁M是等腰三角形，故有A₁C₁⊥MO．

解答：证明：（1）连接D₁C，MN为△DD₁C的中位线，∴MN∥D₁C．又∵D₁C∥A₁B，
∴MN∥A₁B．同理MP∥C₁B．
而MN与MP相交，MN，MP?面MNP，A₁B，
A₁B?面A₁C₁B．∴面MNP∥面A₁C₁B．
（2）证明：连接C₁M和A₁M，
设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O为A₁C₁的中点，
∴A₁C₁⊥MO．

点评：本题考查证明面面平行、线线垂直的方法，面面平行 的判定定理应用，注意利用三角形的中位线的性质．