Question

如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，点、分别为、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）能否在上找到一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

解析试题分析：（1）先建立空间直角坐标系，利用法向量证明OD//平面ABC，说明和平面ABC的法向量垂直即可；（2）设直线CD与平面ODM所成角为θ，求出平面ODM法向量，则；（3）设EM上一点N满足， 平面ABDE法向量，不存在使 ∴ 不存在满足题意的点N.
试题解析：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系
，，，，，
（1）平面ABC的法向量，，
∴OD//平面ABC
（2）设平面ODM法向量为，直线CD与平面ODM所成角为θ
，，∴，
∴.
（3）设EM上一点N满足，
平面ABDE法向量，
不存在使 ∴不存在满足题意的点N.
(传统方法参照给分)
考点：空间向量的运算、空间向量解决立体几何中的证明和计算.