Question

(12分)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” :
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数;
②在函数的定义域内存在区间,使得函数在区间上的值域为.
⑴已知幂函数的图像经过点,判断是否是和谐函数?
⑵判断函数是否是和谐函数?
⑶若函数是和谐函数,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）是和谐函数。（2）不是和谐函数。(3) .

解析试题分析：. (1)设，由，得，
在上是增函数，
令，得
故是和谐函数。                 ………………………4分
⑵易得为上的减函数，
① 若则，相减得与矛盾；
② 若则，与矛盾；
③ 若则，与矛盾。
故不是和谐函数。               ………………………………………8分
⑶在上是增函数，
由函数是和谐函数知, 函数在内存在区间,使得函数在区间上的值域为.

是方程在区间内的两个不等实根
在区间内的两个不等实根，
         ………………………12分
考点：函数的单调性；函数的值域；函数的综合应用；一元二次方程根的分布问题。
点评：（1）此题以新定义为背景，来考查函数的综合应用。考查了学生分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想。（2）设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
① ，(两个正根)；
② ，(两个负根)；
③ (一个正根一个负根)。