Question

(本题12分)

如图,正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2, 侧棱长是, D为AC的中点.
(1)求证: B₁C∥平面A₁BD
(2)求二面角A₁－BD－A的大小.
(3)求直线AB₁与平面A₁BD所成角的大小.

Answer 1

(2) 60°    (3) ∠AOH=arcsin

法1: 如图所示(1)设A₁B与AB₁交于O点, 在△AB₁C中, OD为其中位线,

∴OD∥B₁C, ODÌ平面A₁BD, B₁CÌ平面A₁BD, ∴B₁C∥平面A₁BD
(2) ∵D是AC的中点, △ABC为正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁为正三棱柱, ∴ A₁A⊥BD, ∴BD⊥平面A₁AD, ∴BD⊥A₁D, BD⊥AD, ∴∠A₁DA为二面角A₁－BD－A的平面角, A₁A=, AD="1," tan∠A₁DA= = , ∴∠A₁DA=" 60°." ∴二面角A₁－BD－A的平面角为60°.
(3)∵ BD⊥平面A₁AD, BDÌ平面A₁BD, ∴平面A₁AD⊥平面A₁BD, 过A作AH⊥A₁D于H点,∴AH⊥平面A₁BD, ∴∠AOH为直线AB₁与平面A₁BD所成角, 在Rt△A₁AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.
法2: (空间向量法)建坐标系如图, 则
A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A₁(1, 0, ) B₁(0, , ) , C(－1,0,0)
(1) ="(1," 0, ), =(0,, 0), ="(1," , ) , ∴ =+ , ∴、、共面, 又∵CB₁Ì平面A₁BD, ∴B₁C∥平面A₁BD
(2) 平面ABD的法向量设为="(0,0,1)," 平面A₁BD的法向量为=(x,y,z),
∵ ,
∴ , y="0," 令z="1," 则x=－, ∴=(－,0,1) ,
=
∴ 二面角A₁－BD－A的大小的60°.
(3) 直线AB₁与平面A₁BD所成角θ, 则=(－1, , ),平面A₁BD的法向量为=(－,0,1) , sinθ= = = , ∴ θ=arcsin.