Question

如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线EC与平面BCF所成的角；
（Ⅲ）问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？若存在，试确定M点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DE分别为X，Y，Z轴正言论自由建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，进而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐标，代入向量夹角公式，根据两个法向量的数量积为0，即可得到平面AEC⊥平面AFC；
（II）求出直线EC的方向向量及平面BCF的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线EC与平面BCF所成的角；
（Ⅲ）在EF上存在满足FM=2ME一点M，使M-ACF是正三棱锥，由已知可得ACF是一个正三角形，只须M在平面ACF上的投影，为三角形ACF的中心即可．

解答：证明：（I）建立如图坐标系，令AB=FB=2DE=2
∴D（0，0，0），E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2）
∴

AE

=(-2，0，1)，

EC

=(0，2，-1)，

AF

=(0，2，2)，

FC

=(-2，0，-2)
设

m

为面AEC法向量 

m

=(x1，y1，z1)
则

-2x1+z1=0 2y1-z1=0

⇒

m

=(1，1，2)，
设

n

为面AFC法向量 

n

=(x2，y2，z2)
则

2y2+2z2=0 -2x2-2z2=0

⇒

n

=(1，1，-1)
∴cos＜

m

•

n

＞=

1+1-2

4 • 3

=0
∴

m

⊥

n

．
∴面AEC⊥面AFC．
（Ⅱ）∵

EC

=(0，2，-1)，

FC

=(-2，0，-2)，

FB

=(0，0，-2)
设平面FBC的法向量为

v

=（a，b，c）
则

v

⊥

FC

，且

v

⊥

FB

，
即

-2a-2c=0 -2c=0

，令b=1
则

v

=（0，1，0）
设直线EC与平面BCF所成的角为θ
则sinθ=

| v • EC |

| v |•| EC |

=

2

5

=

2 5

5

即直线EC与平面BCF所成的角为arcsin

2 5

5

（Ⅲ）在EF上存在满足FM=2ME一点M，使M-ACF是正三棱锥
作法：题意知△ACF是正三角形，
顶点M在ACF上的射影是△ACF的中心N
正方形的中心（即AC与BD的交点）为O，
则点N一定在OF上，且FN=2ON，
在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M，
则该点为所求

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的结构特征，直线与平面所成的角，其中建立空间坐标系，将直线与平面的关系转化为向量的夹角问题，是解答本题的关键．