Question

平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线=1（a＞0,b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.

Answer 1

（1）解析：设C（x，y），因为=α+β，

则（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）

∴∵α-2β=1,∴x+y=1.

即点C的轨迹方程为x+y=1.

（2）证明：由得：（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0.

由题意,得b²-a²≠0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）,

则：x₁+x₂=,

x₁x₂=-.

因为以MN为直径的圆过原点，=0，

即x₁x₂+y₁y₂=0,x₁x₂+(1-x₂)(1-x₂)

=1-(x₁+x₂)+2x₁x₂

=1+=0,

即b²-a²-2a²b²=0,∴=2为定值.