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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2
    		3
    ，离心率为
    		3
    3
    ，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
    （1）求椭圆E的标准方程；
    （2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
    （3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．
    分析：（1）由题意可得
    2a=2
    		3
    e=
    c
    a
    =
    		3
    3
    a2=b2+c2
    ，解出即可；
    （2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=
    a2
    c
    =3    ，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得kQF2•kPF2=-1，利用斜率计算公式可得kPQ•kOQ及
    y
    2
    1
    =2(1-
    x
    2
    1
    3
    )    代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
    （3）由（2）知，直线PQ的方程为y-y1=-
    2x1
    3y1
    (x-x1)    ，即y=-
    2x1
    3y1
    x+
    2
    y1
    ，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．
    解答：解：：（1）由题意可得
    2a=2
    		3
    e=
    c
    a
    =
    		3
    3
    a2=b2+c2
    ，解得a=
    		3
    ，c=1，b=
    		2

    所以椭圆E：
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ．
    （2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=
    a2
    c
    =3    ，
    设P（3，y0），Q（x1，y1），
    因为PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=
    y0
    2
    •
    y1
    x1-1
    =
    y0y1
    2(x1-1)
    =-1    ，
    所以-y1y0=2（x1-1）
    又因为kPQ•kOQ=
    y1
    x1
    •
    y1-y0
    x1-3
    =
    y
    2
    1
    -y1y0
    x
    2
    1
    -3x1
    且
    y
    2
    1
    =2(1-
    x
    2
    1
    3
    )    代入化简得kPQ•kOQ=-
    2
    3
    ．
    即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-
    2
    3
    ．
    （3）由（2）知，kPQ•kOQ=-
    2
    3
    ，kOQ=
    y1
    x1
    ，
    ∴kPQ=-
    2x1
    3y1
    ．
    ∴直线PQ的方程为y-y1=-
    2x1
    3y1
    (x-x1)    ，即y=-
    2x1
    3y1
    x+
    2
    y1
    ，
    联立
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1
    y=-
    2x1
    3y1
    x+
    2
    y1
    得(3
    y
    2
    1
    +2
    x
    2
    1
    )x2-12x1x+18-9
    y
    2
    1
    =0    ，
    ∵3
    y
    2
    1
    +2
    x
    2
    1
    =6    ，18-9
    y
    2
    1
    =6
    x
    2
    1
    ．
    ∴化简得：x2-2x1x+
    x
    2
    1
    =0    ，又△=0，
    解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．
    点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
    （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
    （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
    		2
    -1），求此时的椭圆方程；
    （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
     （1）求椭圆E的方程；
     （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•佛山二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个交点为F1(-
    		3
    ，0)    ，而且过点H(
    		3
    ，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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