Question

【题目】已知无穷数列的各项都不为零，其前n项和为，且满足，数列满足，其中t为正整数．

求；

若不等式对任意都成立，求首项的取值范围；

若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) 数列中的任意一项总可以表示为数列中的其他两项之积.理由见解析.

【解析】

分析：（1）令，则，即，可得．又由与的关系可得，从而数列是首项为，公差为1的等差数列，由此可得．（2）由可得数列是首项为，公差为1的等差数列；数列是首项为，公差为1的等差数列，由此可得然后由题意讨论可得．（3）由（2）得数列的各项都是正整数．假设结论成立，即，即，所以，取，取，故，不妨设是偶数，则一定是整数，讨论可得不论为奇数还是偶数，上式都有解，即假设成立．

详解：（1）令，则，即，

又，

所以；

由，得，

两式相减得，

又，

故，

所以．

（2）由（1）知数列是首项为，公差为1的等差数列；

数列是首项为，公差为1的等差数列．

故

所以

①当时奇数时，，

即，

即对任意正奇数恒成立，

所以，

解得．

②当时偶数时，，

即，即对任意正偶数恒成立，

所以，

解得．

综合①②得．

（3）由数列是首项为1，公差为1的等差数列；数列是首项为正整数，公差为1的等差数列知，数列的各项都是正整数．

设，即，

所以，

取，取，

故，

不妨设是偶数，则一定是整数，

故当是偶数时，方程的一组解是

当是奇数时，方程的一组解是

所以数列中的任意一项总可以表示为数列中的其他两项之积．