Question

已知椭圆C:，的离心率为，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过（-1,0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线l的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）当直线的方程为时，面积最大.  

【解析】本试题主要是考查而来椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）由于根据题目中的椭圆的性质，可知系数a,b,c的关系式，进而求解得到方程。

（2）设出直线方程与椭圆方程联立方程组，借助于韦达定理，来求解点到直线的距离，来表示三角形的面积，进而得到最值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则，解得，所以椭圆的方程为.                                              

                                                      -----------------4分    

（Ⅱ）方法一：设交点，，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则易得.                                            --------------6分

当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得

，两个根为  

恒成立，，               -----------7分

则，

又原点到直线的距离=，                            --------------8分 

所以

                                           --------------11分

所以，当直线的方程为时，面积最大.              --------------12分

方法二：设交点，，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则易得.                                                    ----------6分

当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得

，两个根为，

恒成立，，                  -----------7分

                      ---------------8分

        =

                                                --------------11分

所以，当直线的方程为时，面积最大.                 -----------12分