Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，

π

4

]求函数f（x）的值域；
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

2

个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，求经以上变换后得到的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）根据已知可求出函数的周期，进而求出ω值，代入点M(

2π

3

，-2)可得A值，进而求出f（x）的解析式；
（2）由x∈[0，

π

4

]可求出相位角的取值范围，结合正弦函数的性质可得此时函数f（x）的值域；
（3）根据（1）中函数的解析式，结合函数图象的平移变换法则及伸缩变换法则，可得变换后函数的解析式．

解答：解：（1）∵f(x)=Asin(ωx+

π

6

)的图象与x轴相邻两个交点之间的距离为

π

2

，
∴T=π
又∵ω＞0
∴ω=2
又∵图象上一个点为M(

2π

3

，-2)．
∴-2=Asin(

4π

3

+

π

6

)
解得A=2
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[0，

π

4

]
∴2x+

π

6

∈[[

π

6

，

2π

3

]
当2x+

π

6

=

π

6

，即x=0时，f（x）取最小值1
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值2
故x∈[0，

π

4

]时，函数f（x）的值域为[1，2]
（3）∵将函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)的图象向左平移

π

2

个单位
可得函数f(x)=2sin[2(x+

π

2

)+

π

6

]=-2sin(2x+

π

6

)的图象
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得函数f(x)=-2sin(x+

π

6

)的图象

点评：本题考查的知识点是正弦型函数解析式是求法，正弦型函数的图象和性质，正弦型函数的图象变换，是正弦型函数图象和性质的综合应用，难度中等．