Question

已知点P (-1，  

3

2

)是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为

5

？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PF₁⊥x轴，知F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ），3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，由此得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

．设直线AB的方程为y=

1

2

x+t，与3x²+4y²=12联立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，再由根的判别式和点到直线AB的距离公式知这样的λ不存在．

解答：解：（1）∵PF₁⊥x轴，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；（4分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=λ

PO

得
（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）①（5分）
又3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

（8分）
设直线AB的方程为y=

1

2

x+t，
与3x²+4y²=12联立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，
△=3（4-t²）＞0，t∈（-2，2），x₁+x₂=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d=

2|t|

5

=

5

，∴t=±

5

2

∉(-2，2)（10分）
∵t=2-λ∴λ=

9

4

或-

1

2

不合题意．故这样的λ不存在（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质、点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理，注意合理地进行等价转化．