Question

（2010•湖北模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上，NC=

1

2

（1）求证：AB₁⊥MN
（2）求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer 1

分析：（1）可利用三垂线定理证明：即证明MN与AB₁的射影垂直．故可连接MA、B₁M则根据正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的性质可得平面ABC⊥平面BB₁C₁C再利用面面垂直的性质定理可得
AM⊥平面BB₁C₁C从而可得B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影然后再利用三角形的有关知识证明出B₁M⊥MN即可．
（2）利用二面角的定义先将二面角M-AB₁-N的平面角作出来然后在解三角形即可：由（1）知可过点M作ME⊥AB₁，垂足为E，连接EN则根据三垂线定理可得EN⊥AB₁则根据二面角的定义∠MEN即为二面角M-AB₁-N的平面角然后在解三角形MEN求出∠MEN即可．

解答：解：（1）连接MA、B₁M，
在正△ABC中AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AM⊥平面BB₁C₁C，B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影，M是BC的中点，N在CC₁上，NC=

1

2

∴在Rt△B₁BM与Rt△MCN中，

NC

MC

=

BM

BB1

=

1

2

，
∴∠BB₁M=∠NMC，∠BMB₁=∠MNC，∴∠B₁MN=90°．
∴B₁M⊥MN，由三垂线定理知AB₁⊥MN．（6分）
（2）过点M作ME⊥AB₁，垂足为E，连接EN，由（1）知MN⊥平面AMB₁，
∴EN⊥AB₁（三垂线定理），∴∠MEN即为二面角M-AB₁-N的平面角，由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M．
在Rt△AMB₁中，ME=

3 • 5

2 2

=

30

4

，又MN=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=

MN

ME

=

6

3

，
∴二面角M-AB₁-N的正切值为

6

3

点评：本题主要考察了线线垂直的证明和二面角的求解，属常考题目，较难．解题的关键是要掌握证明线线垂直的常用方法：三垂线定理或其逆定理而对于二面角的求解要现根据二面角的定义作出其平面角然后再证明此角即为其平面角即常说的“先作后证”！