Question

已知函数的图像是自原点出发的一条折线，当时，该图像是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义.

Ⅰ.求、和的表达式；

Ⅱ.求的表达式，并写出其定义域；

Ⅲ.证明：的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

Answer 1

答案见解析

解析:

Ⅰ.解：依题意，又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由，得

又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由 ，即得 

记由函数图像中第段线段的斜率为，故得

又；所以

由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为因得

即 

Ⅱ. 解：当，从Ⅰ可知当时，

当时，即当时，由Ⅰ可知

为求函数的定义域，须对进行讨论.

当时，；

当时，也趋向于无穷大.

综上，当时，的定义域为；

当时，的定义域为.

Ⅲ. 证法一：首先证明当，时，恒有成立.

用数学归纳法证明：

（ⅰ）由Ⅱ知当时,在上,

所以成立

（ⅱ）假设时在上恒有成立.

可得

在上,

所以

也成立.

由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数在上都有成立.

即  时,恒有.

其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.

故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

证法二:首先证明当,时,恒有成立.

对任意的存在,使，此时有

所以

又所以，

所以，即有成立.

其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立.

故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.