Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+an-1=(

1

2

)n（n∈N^*，n≥2），令Tn=a1•2+a2•22+…+an•2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tn-an•2n+1=

2n

．

Answer 1

分析：先对T_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ 两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3T_n-a_n•2ⁿ⁺¹的表达式．

解答：解：由T_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ ①
得2•T_n=a₁•2²+a₂•2³+…+a_n•2ⁿ⁺¹ ②
①+②得：3T_n=2a₁+2²（a₁+a₂）+2³•（a₂+a₃）+…+2ⁿ•（a_n-1+a_n）+a_n•2ⁿ⁺¹ 
=2a₁+2²×

1

2

+23•(

1

2

)2+…+2n•(

1

2

)n+1+a_n•2ⁿ⁺¹
=2+2+2+…+2+2ⁿ⁺¹•a_n
=2n+2ⁿ⁺¹•a_n．
所以3T_n-a_n•2ⁿ⁺¹=2n．
故答案为：2n．

点评：本题主要考查了数列的求和，以及类比推理，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握，属于基础题．