Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长是1的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）记MN=x，V（x）表示四棱锥P-ABCD的体积，求V（x）的表达式（不必讨论x的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点E，连接ME、NE，由三角形中位定理，可得ME∥AD，NE∥PD，进而由面面平行的第二判定定理可得平面MNE∥平面PAD，进而由面面平行的性质得到MN∥平面PAD；
（2）由PD⊥平面ABCD，结合（1）中NE∥PD，可得NE⊥平面ABCD，进而NE⊥ME，由勾股定理可用x表示出NE，即

1

2

PD，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（1）取CD的中点E，连接ME、NE，
由M、N分别是AB、PC的中点
则ME∥AD，NE∥PD…（2分），
因为ME∩NE=E，ME，NE?平面MNE，AD，PD?平面PAD
所以平面MNE∥平面PAD…（4分），
又∵MN?平面MNE，
所以MN∥平面PAD…（6分）．
解：（2）由（1）中NE∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
所以NE⊥平面ABCD…（8分），
又∵ME?平面ABCD，
∴NE⊥ME…（9分），
∴MN²=ME²+NE²，
所以NE=

MN2-ME2

=

x2-1

…（10分），
由（1）知PD=2NE=2

x2-1

…（11分），
所以V(x)=

1

3

Sh=

1

3

×SABCD×PD…（13分），
=

2

3

x2-1

…（14分）．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线线平行，面面平行，线面平行之间的相互转化，（2）的关键是分别用x表示出棱锥的高和底面积．