Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面，等边三角形AB₁C所在平面与面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.

(Ⅰ)证明：B₁C₁为异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

(Ⅱ)求点A与平面VBC的距离；

(Ⅲ)求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

答案：方法1：传统的立体几何演绎法

(Ⅰ)证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC

∵BC⊥AC，∴B₁C₁⊥A₁C₁

又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面

ABC=AC，

∴BC⊥平面AB₁C，∴BC⊥AB，∴B₁C₁⊥AB₁，

又∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁，B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线.

(Ⅱ)解法1：过4作AD⊥B₁C于D.

∵△AB₁C为正三角形，∴D为B₁C的中点.

∵BC上平面AB1C，∴BC⊥AD，

又B₁C∩BC=C，∴AD⊥平面VBC，

∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.

在正△AB₁C中，AD=,AC=×2a=a.

∴点A到平面VBC的距离a.

解法2：取AC中点O连接B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.

由(Ⅰ)知BC⊥B₁C，设A到平面VBC的距离为x，

∴，

即BC·AC·B₁O=BC·B₁C·x，解得

x=a.

即A到平面VBC的距离为a.

(Ⅲ)过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三垂线定理知AH⊥VB

∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角.

在Rt△AHD中，

AD=a·△B₁DH=△B₁BC·.

∴DH=a.

∴tan∠AHD=.∴∠AHD=arctan.

所以，二面角A-VB-C的大小为arctan.

方法2：空间向量法

取AC中点O，连接B₁O，易知B1O⊥平面ABC，过O作直线0H∥BC交AB于H

取O为空间直角坐标系的原点，OH、OC、OB₁所在

自线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，

则A(0，-a，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，B₁(0，0，a)

(Ⅰ)=(-a，0，0)，=(0，a，a)，

∴·=(-a，0，0)·(0，a，a)=0

∴⊥，∴BC⊥AB₁，

又∵B₁C₁∥BC，由已知BC⊥AC，A₁C₁∥AC，

∴B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥AB₁

即B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线.

(Ⅱ)设n=(x，y，z)是平面佃C的一个法向量，

又=(-a，0，0)，=(-a，-a，a)，

则

令z=，则x=0,y=3

∴n=(0，3,)

设所求距离为d，d=a，

∴点A到平在VBC的距离为a.

(Ⅲ)设平面VAB的一个法向量为m=(s，t，f)，又=(a，2a，0)

则

令f=，则s=6，t=-3

即m=(6，-3，)，

设二面角A-VB-C为α，n=(0，3,)

cos＜n，m＞=

又二面角A-VB-C为锐角，则二面角A-VB-C的大小为arccos.