Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|﹣ +a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=1，x∈∈[1，6]，

∴f（x）=|x﹣1|﹣ +1=x﹣ ，

∴f′（x）=1+ ＞0，

∴f（x）是增函数；

（2）

解：因为1＜a＜6，所以f（x）= ，

①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，

所以当x=6时，f（x）取得最大值为 ．

②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，

而f（3）=2a﹣6，f（6）= ，

当3＜a≤ 时，2a﹣6≤ ，当x=6时，f（x）取得最大值为 ．

当 ≤a＜6时，2a﹣6＞ ，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．

综上得，M（a）=

【解析】（1）可求得f（x）=x﹣ ，利用f′（x）＞0即可判断其单调性；（2）由于1＜a＜6，可将f（x）化为f（x）= ，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得函数f（x）的最大值的表达式M（a）．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．