Question

已知函数。
（1）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（2）对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n²的大小关系。

Answer 1

解：（1）由解得x＜-1或x>1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时


∴在定义域上是奇函数。
（2）当x∈[2，6]时
恒成立
∴
∵x∈[2，6]，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈ [2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7，
∴0＜m＜7。
（3）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）==ln（2n+1）
构造函数h（x）=ln（1+x）-（x＞0）

当x>0时，h'（x）＜0
∴在（0，+∞）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0；
当x=2n（n∈N*）时，ln（1+2n）-（2n+2n²）＜0，
∴ln（1+2n）＜2n+2n²。