Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=

1

2

，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=

1

2+an

（n∈N^*）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与数列{b_n}的前n项积分别记为S_n，T_n证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，由函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，知x²+ax+b=0的两个实根为α，β．由韦达定理能求出a和b．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，从而an+1 =

an2

2

+an，n∈N*，所以bn=

1

2+an

= 

an2

2a  n-1an

=

an+1 -an

an+1an

= 

1

an

-

1

an+1

，n∈N*，由此能够证明对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n=

1

an+1

+2-

1

an+1

为定值．
（3）由a₁＞0，an+1=

an2

2

+an，知{a_n}为单调递增的正数数列，由bn=

1

2+an

，n∈N*，知{b_n}为递减的正数数列，由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

解答：（1）解：设方程2x²+4x-30=0的两个实根为α，β，
则α+β=-2，αβ=-15，
∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，
∴x²+ax+b=0的两个实根为α，β，
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
从而2a_n+1=a_n（a_n+2），即an+1 =

an2

2

+an，n∈N*，
∵2a_n+1=a_n（a_n+2），
∴bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2an+1an

=

an+1 -an

an+1an

= 

1

an

-

1

an+1

，n∈N*，
∴T_n=b₁•b₂•b₃…b_n
=

a1

2 a2

• 

a2

2 a3

…

an

2an+1

=

1

2n+1an+1

．
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（

1

a1

- 

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）
=2-

1

an+1

，n∈N^*．
∴对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n=

1

an+1

+2-

1

an+1

=2为定值．
（3）证明：∵a₁＞0，an+1=

an2

2

+an，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N^*
即{a_n}为单调递增的正数数列，
∵bn=

1

2+an

，n∈N*，
∴{b_n}为递减的正数数列，且b1= 

2

5

，
∴Tn≤b1n=(

2

5

)n，n∈N*，
∵Sn=2- 

1

an+1

=2-2n+1Tn，n∈N*，
∴对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

点评：本题考查数列与不等的综合应用，综合性强，强度大，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，注意培养计算能力．