Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调减，当时，在和上，单调减，在上，单调增；（2）.

【解析】试题分析：(1)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性;
(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间上的最大值,然后解不等式求参数.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，

令，则，（）舍去

令，则，

令，则

所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减

（2）当时，

由（1）可知的两根分别为，

令，则或，

令，则

可知函数在上单调递减，在上单调递增，

所以对任意的，有

，

由条件知存在，使，

所以

即存在，使得

分离参数即得到在时有解，

由于（）为减函数，故其最小值为，

从而

，所以实数的取值范围是