某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品.但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产．已知该生产线连续生产n个月的累积产量为f(n)=12n吨.但如果月产量超过96吨.就会给周边环境造成污染.环保部门将责令停产一段时间.再进入下一个生产周期．(Ⅰ)请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品，但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产．已知该生产线连续生产n个月的累积产量为f(n)=

n(n+1)(2n-1)吨，但如果月产量超过96吨，就会给周边环境造成污染，环保部门将责令停产一段时间，再进入下一个生产周期．
（Ⅰ）请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期；
（Ⅱ）按环保管理条例，该生产线每月需要缴纳a万元的环保费．已知这种化工产品每吨的售价为0.6万元，第n个月的生产成本为g(n)=

n2-

n-1万元．当环保费用a在什么范围内时，该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利？

分析：（1）先化简得到第n个月的产量函数，再令 f(n)-f(n-1)≤96，解得：-

≤n≤6
（2）建立利润函数F(n)=

(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，则F（n）＞0恒成立，求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）设第n个月的产量为a_n吨，则a₁=f（1）=1．（1分）
当n≥2时，a_n=f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（3分）
又a₁=1满足上式，所以a_n=3n²-2n（n∈N*）．（4分）
令3n²-2n-96≤0，得-

≤n≤6．又n∈N^*，则n=1，2，3，4，5，6．
故最长生产周期是6个月．（6分）
（Ⅱ）由

(3n2-2n)-(

n2-

n-1)-a＞0，得a＜

n2-

n+1．（8分）
设φ(n)=

n2-

n+1，据题意，当n=1，2，3，4，5，6时，a＜φ（n）恒成立，则a＜φ（n）_min．
因为φ(n)=

n2-

n+1=

(n-2)2+

，则当n=2时，φ(n)min=

．（12分）
故当环保费用a∈(0，

)时，该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利．（13分）

点评：本题主要考查函数的实际应用，建模和解模的能力．

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