Question

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1成立，则 称此函数为“滨湖函数”．下列命题正确的是    ．（把你认为正确的序号都填上）
①y=是“滨湖函数”；
②y=+sinx（x∈[]）I是“滨湖函数”；
③y=2^x是“滨湖函数”；
④y=lnx是“滨湖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”

Answer 1

【答案】分析：利用“滨湖函数”的定义，逐个分析①②③④⑤五个函数，能够得到结果．
解答：解：对于①，对应的x₁，x₂不唯一，
∴①不一定是“滨湖函数”；
对于②，函数y=是[-]上的单调增函数，
对[-，]内的每一个值∈[]，，
∴在[-，]内存在唯一的x₂，使=∈[]成立，
∴②是“滨湖函数”；
对于③，∵y=2^x，2^x•2^-x=1，
∴③是“滨湖函数”；
对于④，y=lnx有零点，∴④一定不是y=lnx“滨湖函数”；
对于⑤，∵y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，
∴对于定义域中每一个x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，
∵两个x₂不一定相等，
∴y=f（x₁）g（x₁）•f（x₂）g（x₂）=1不一定成立，
∴⑤不是“滨湖函数”．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数的性质的基本应用，解题时要认真审题，注意理解“滨湖函数”的概念．