Question

若椭圆C₁：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)的离心率等于

3

2

，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点在椭圆C₁的顶点上．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）求过点M（-1，0）的直线l与抛物线C₂交E、F两点，又过E、F作抛物线C₂的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据长半轴是2求出a的值，再表示出半焦距c，根据离心率的值求出b的值，从而可得到抛物线的焦点坐标，得到抛物线的标准方程．
（2）先根据题意设出直线l的方程和点E、F的坐标，然后对抛物线方程进行求导运算，进而得到切线l₁，l₂的斜率，根据l₁⊥l₂可得到x₁•x₂的值，再联立直线l与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可表示出两根之积，再结合x₁•x₂的值可确定k的值，最后将k的值代入到直线方程即可得到答案．

解答：解：（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距c=

4-b2

由离心率等于e=

c

a

=

4-b2

2

=

3

2

∴b²=1∴椭圆的上顶点（0，1）∴抛物线的焦点为（0，1）
∴抛物线的方程为x²=4y
（2）由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴切线l₁，l₂的斜率分别为

1

2

x1，

1

2

x2
当l₁⊥l₂时，

1

2

x1•

1

2

x2=-1，即x₁•x₂=-4
由

y=k(x+1) x2=4y

得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此时k=1满足①
∴直线l的方程为x-y+1=0

点评：本题主要考查椭圆、抛物线的基本性质和直线与抛物线的综合问题．考查对基础知识的综合运用．