Question

【题目】已知椭圆：的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求的方程；

（2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点,.

（i）证明：平分线段（其中为坐标原点）；

（ii）当取最小值时，求点的坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知，根据椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）（ⅰ）设点的坐标为，验证当时，平分显然成立；当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组，求解中点的坐标，即可得到结论；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.

（1）由已知，得. 因为，易解得.

所以，所求椭圆的标准方程为

（2）设点的坐标为

当时，与轴垂直为的中点平分显然成立

当由已知可得：

则直线的方程为：

设

消去得：

，

中点的坐标为

又在直线上.

综上平分线段

当时，则

当时，由可知

(当且仅当，即时等号成立)，

∴点的坐标为