Question

设命题p：函数g（x）=(a-

3

2

)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先化简命题p、q，再根据“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，等价于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

进而可求出a的取值范围．

解答：解：由命题p：函数g（x）=(a-

3

2

)x是R上的减函数，∴0＜a-

3

2

＜1，解得

3

2

＜a＜

5

2

．
由命题q：当a≤0时，函数f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定义域不为R，应舍去；
当a＞0时，要使函数f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定义域为R，即对任意实数都满足ax2-x+

1

16

a＞0，
则必有△＜0，即1-4a×

1

16

a＜0，又a＞0，解得a＞2．
由已知“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，等价于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

由

p真 ￢q真

得到

3

2

＜a≤2；
由

￢p真 q真

得到a≥

5

2

．
综上可知：a的取值范围是：

3

2

＜a≤2或a≥

5

2

．

点评：本题考查了函数的性质和复合命题的真假，充分理解性质及判断方法是解决问题的关键．