Question

数列{a_n}中a_n＞0，且由下列条件确定：a1=m＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)，n∈N*．
（1）证明：对n≥2，总有an≥

m

；
（2）证明：对n≥2，总有a_n≥a_n+1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1的表达形式，结合基本不等式知识，可证．
（2）比较大小，常用作差比较，作商比较（项为正时）

解答：解：（1）证明：由a₁=m＞0，及an+1=

1

2

(an+

m

an

)，a_n＞0
从而有an+1=

1

2

(an+

m

an

)≥

an• m an

=

m

(n∈N)．（4分）
所以，当n≥2，总有a_n≥

m

成立．
（2）证法一：当n≥2时，因为an≥

m

＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)
所以an+1-an=

1

2

(an+

m

an

)-an=

1

2

•

m- a 2 n

an

≤0，（10分）
故当n≥2时，a_n≥a_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为an≥

m

＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)
所以

an+1

an

=

1 2 (an+ m an )

an

=

a 2 n +m

2 a 2 n

≤

a 2 n + a 2 n

2 2 n

=1
故当n≥2时，a_n≥a_n+1成立..（12分）

点评：本题借助于数列的形式，实际上主要考查了不等式的基础知识与基本方法．