Question

（Ⅰ）用向量法证明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）若tan（α+β）=

2

5

，tan（α-

π

4

）=

1

4

，求：tan(β+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，角α、β的终边分别与单位圆交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），则由两个向量的数量积的定义可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，再利用两个向量的数量积公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，从而证得公式成立．
（Ⅱ）根据 tan(β+

π

4

)=tan[(α+β)-(α-

π

4

)]，再把已知条件代入运算求得结果．

解答：（Ⅰ）证明：建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，
角α、β的终边分别与单位圆交于p₁（cosα，sinα）、p₂（cosβ，sinβ），
则由两个向量的数量积的定义可得

OM

•

oON

=|

OM

||

ON

|cos(α-β)=cos(α-β)，
再利用两个向量的数量积公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ） tan(β+

π

4

)=tan[(α+β)-(α-

π

4

)]=

2 5 - 1 4

1+ 2 5 × 1 4

=

3

22

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式、两角差的正切公式，属于中档题．