Question

已知命题：“?x∈x|-1≤x≤1，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B； 
（2）设不等式（x-3a）（x-a-2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x²-x）_max，求出m的范围．
（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A⊆B，求出a的范围．

解答：解：（1）命题：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命题，
得x²-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x²-x）_max
得m＞2
即B=（2，+∞）
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0
①当3a＞2+a，即a＞1时
解集A=（2+a，3a），
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，
∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．
②当3a=2+a即a=1时
解集A=φ，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立．
③当3a＜2+a，即a＜1时
解集A=（3a，2+a），若
x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立，
∴3a≥2此时a∈[

2

3

，1)．
综上①②③：a∈[

2

3

，+∞)．

点评：解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，长从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论．