Question

（2008•成都三模）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-

2

，0）、（

2

，0），点A、N满足

AE

=2

3

，

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M，设点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l：y=k（x+1）（k≠0）对称，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S，对点B（1，0）和向量a=（-

3

，3k），求

BR

•

BS

-|a|2取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，可知N为AF中点．则MN垂直平分AF．从而有|

MA

|=|

MF

|．即可得|

ME

|+|

MF

|=|

MA

|+|

ME

|=|

AE

|=2

3

＞|

EF

|．根据椭圆的定义可知，点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆，可求椭圆方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点T（x0，y0）．由

x12 3 +y12=1   x22 3 +y22=1

，两式相减可及y0=k（x0+1）可求x0=-

3

2

，y0=-

k

2

．由中点T（x0，y0）在椭圆内部可求k的范围（3）将y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆C：

x2

3

+y2=1中，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-3=0．设R（x3，y3），S（x4，y4）．则x3+x4=-

6k2

1+3k2

，x3x4=

3k2-3

1+3k2

．y3y4=k2（x3+1）（x4+1）=k2（x3+x4+x3x4+1）=-

2k2

1+3k2

，代入已知向量的数量积可求k，进而可求直线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，
∴N为AF中点．
∴MN垂直平分AF．
∴|

MA

|=|

MF

|．
∴|

ME

|+|

MF

|=|

MA

|+|

ME

|=|

AE

|=2

3

＞|

EF

|．
∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆．…（2分）
∴长半轴a=

3

，半焦距c=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴点M的轨迹方程为

x2

3

+y2=1．…（2分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点T（x₀，y₀）．
由

x12 3 +y12=1   x22 3 +y22=1

两式相减可得，

1

3

(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

x1+x2

y1+y2

∴-

1

k

=-

1

3

x0

y0

又y₀=k（x₀+1）
∴x0=-

3

2

，y0=-

k

2

．…（2分）
∵中点T（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴

x0

3

+y02＜1⇒

3

4

+

k2

4

＜1⇒k2＜1
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
（3）将y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆C：

x2

3

+y2=1中，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-3=0．
设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄）．
则x₃+x₄=-

6k2

1+3k2

，x₃x₄=

3k2-3

1+3k2

．
∴y₃y₄=k²（x₃+1）（x₄+1）=k²（x₃+x₄+x₃x₄+1）=-

2k2

1+3k2

…（2分）
∴

BR

•

BS

-|a|2=(x3-1)(x4-1)+y3y4-3-9k2
=x₃x₄-（x₃+x₄）+1+y₃y₄-3-9k²
=

3k2-3

1+3k2

+

6k2

1+3k2

+1-

2k2

1+3k2

-3-9k2=

10k2-2

1+3k2

-3-9k2=

10

3

-[

16 3

1+3k2

+3(1+3k2)]≤

10

3

-2

16

=-

14

3

．
当且仅当

16 3

1+3k2

=3(1+3k2)，即k2=

1

9

∈（0，1）时等号成立．
此时，直线l的方程为y=（x+1）．…（2分）

点评：本题主要考查了利用向量的基本关系转化线段之间的关系，利用椭圆的定义求解椭圆的方程，及直线与椭圆的相交关系的点差法的应用，直线与曲线相交关系中方程方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题