Question

已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，若方程有两个不同的实根和，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：.

Answer 1

（1）时，在递增；  时，在递增；递减   时，在递减；递增  
（2 的取值范围是      （ⅱ）  

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。借助于导数的符号与函数的单调性的关系来确定单调区间，以及运用函数与方程的思想来分析方程根的问题的综合运用。
（1）首先先求解定义域，然后求解导数，令导数大于零或者导数小于零，得到单调区间。需要对于参数a分类讨论。
（2）当a=1，若方程有两个不同的实根，则可以分析函数y=f(x)的图像的变化情况，确定参数k的取值范围。同时借助于单调性证明不等式
（1）
时，在递增； 又时
时，在递增；递减
时，在递减；递增    5分
（2）（ⅰ）由（1）知在递增；递减 ∴  6分
又，而    ∴
所以的取值范围是                                                 8分
（ⅱ）由（ⅰ）不妨设，则
∵在递减，∴要证. 即证.
即证，即证
令，
则
∴在递增  ∴，即，即， ∴