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    已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且同时满足：①f(1)=3;②f(x)≥2恒成立；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.

    （1）试求函数f(x)的最大值和最小值；

    （2）试比较f(n)与n+2的大小(n∈N)；

    （3）某人发现：当x=n(n∈N)时，有f(x)＜2x+2.由此他提出猜想：对一切x∈(0,1］,都有f(x)＜2x+2,请你判断此猜想是否正确，并说明理由.

    解：(1)设0≤x1＜x2≤1,则必存在实数t∈(0,1),使得x2=x1+t,

    由条件③得,f(x2)=f(x1+t)≥f(x1)+f(t)-2,

    ∴f(x2)-f(x1)≥f(t)-2,由条件②得,f(x2)-f(x1)≥0,故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).

    又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)≥f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.

    (2)在条件③中,令x1=x2=,得f()≥2f(n)-2,即f()-2≤[f()-2],

    故当n∈N*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤…≤[f()-2]= ,

    即f()≤+2.

    又f()=f(1)=3≤2+,

    所以对一切n∈N,都有f()≤+2.

    (3)对一切x∈(0,1),都有f(x)＜2x+2.

    对任意满足x∈(0,1)，总存在n(n∈N),使得＜x≤,

    根据（1）（2）结论，可知：f(x)≤f()≤+2,且2x+2＞2×+2=+2,

    故有f(x)＜2x+2.综上所述，对任意x∈(0,1),f(x)＜2x+2恒成立.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+
    a-3
    2
    x2+(a2-3a)x-2a    ．
    （I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
    （II）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2判断下列三个代数式：①x1+x2+a，②
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    +a2    ，③
    x
    3
    1
    +
    x
    3
    2
    +a3
    中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    问题1：已知函数f(x)=
    x
    1+x
    ，则f(
    1
    10
    )+f(
    1
    9
    )+    …+f(
    1
    2
    )+f(1)+f(2)+    …+f（9）+f（10）=
    19
    2
    19
    2
    ．
    我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
    1
    2
    )+f(2)    、…、f(
    1
    9
    )+f(9)    、f(
    1
    10
    )+f(10)    可一般表示为f(
    1
    x
    )+f(x)    =
    1
    x
    1+
    1
    x
    +
    x
    1+x
    =
    1
    1+x
    +
    x
    1+x
    =
    1+x
    1+x
    =1    为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
    问题2：已知函数f(x)=
    1
    2x+
    		2
    ，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P是M，N的中点．
    （1）求证：y1+y2为定值；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    （n∈N*，n≥2），求
    lim
    n→∞
    4Sn-9Sn
    4Sn+1+9Sn+1
    的值；
    （3）在（2）的条件下，若an=
    1
    6
    ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    （n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x+1-a
    a-x
    (x≠a)
    （1）当f（x）的定义域为[a+
    1
    2
    ，a+1]    时，求f（x）的值域；
    （2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
    （3）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
    1
    2
    ≤a≤
    3
    2
    ，求g（x）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2
    		2
    x
    1-x
    ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
    （1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值；
    （2）设Tn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
    （3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )    …(1-
    1
    an
    )＜
    sinα
    		2n+1
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

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