Question

（19）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

                                    

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

       （III）求点E到平面ACD的距离。

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

       方法一：

       （I）证明：连结OC

      

      

      

在中，由已知可得

       而

      

       即

      

       平面

       （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

       在中，

      

       是直角斜边AC上的中线，

      

       异面直线AB与CD所成角的大小为

       （III）解：设点E到平面ACD的距离为

      

       在中，

      

       而

      

       点E到平面ACD的距离为

       方法二：

       （I）同方法一。

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

      

      

       异面直线AB与CD所成角

       的大小为

      

 （III）解：设平面ACD的法向量为则

      

      

       令得是平面ACD的一个法向量。

       又

       点E到平面ACD的距离