Question

已知函数f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）
（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f(A)=-

1

2

，b=3，sin（A+C）=

3

4

sinC，求△ABC的面积．
（2）若f（α）=

3

3

+1，0＜α＜

π

6

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合f(A)=-

1

2

，可求A，再结合正弦定理，可求c，从而可求△ABC的面积．
（2）由f（α）=

3

3

+1，0＜α＜

π

6

，可求sin（2α+

π

6

）=

2 2

3

，从而可求sin2α的值．

解答：解：（1）函数f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）=1+cos2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=1+

3

2

cos2x-

3

2

sin2x=

3

cos（2x+

π

6

）+1
∵f(A)=-

1

2

，∴

3

cos（2A+

π

6

）+1=-

1

2

，∴cos（2A+

π

6

）=-

3

2

．
∵A∈（0，

π

2

），∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

．
又因为sin（A+C）=

3

4

sinC，即sinB=

3

4

sinC，由正弦定理得b=

3

4

c，
又b=3，∴c=4．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

（2）f（α）=

3

cos（2α+

π

6

）+1=

3

3

+1，则cos（2α+

π

6

）=

1

3

∵0＜α＜

π

6

，∴0＜2α+

π

6

＜

π

3

，∴sin（2α+

π

6

）=

2 2

3

∴sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-sin

π

6

cos(2α+

π

6

)=

2 6 -1

6

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理，考查角的变换，考查学生的计算能力，属于中档题．