Question

如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足

AD

•

AC

=0．sin∠BAC=

2 2

3

，AB=3

2

，BD=

3

．
（I）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．

Answer 1

分析：（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．

解答：解：（Ⅰ）∵

AD

•

AC

=0，
∴AD⊥AC，
∴sin∠BAC=sin(

π

2

+∠BAD)=cos∠BAD，
∵sin∠BAC=

2 2

3

，
∴cos∠BAD=

2 2

3

…．（2分）
在△ABD中，由余弦定理可知BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，
即AD²-8AD+15=0，
解之得AD=5或AD=3 …．（6分）
由于AB＞AD，
∴AD=3…..（7分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知

BD

sin∠BAD

=

AB

sin∠ADB

，
又由cos∠BAD=

2 2

3

，
可知sin∠BAD=

1

3

，
∴sin∠ADB=

ABsin∠BAD

BD

=

6

3

，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=

π

2

，
∴cosC=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．