Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足=1-，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得到关于a₁与d的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，继而可求得b_n=，n∈N^*，于是T_n=+++…+，利用错位相减法即可求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知++…+=1-，n∈N^*，得：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1-）-（1-）=，显然，n=1时符合．
∴=，n∈N^*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=，n∈N^*．
又T_n=+++…+，
∴T_n=++…++，
两式相减得：T_n=+（++…+）-
=--
∴T_n=3-．
点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．