Question

如图，△PAB是边长为2的正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，设BC=a。

（1）若a=，求直线PC与平面ABCD所成的角；
（2）设M为AD的中点，求当a为何值时，PM⊥CM。

Answer 1

解：（1）如图，设H是AB的中点，连接PH，CH

∵△PAB是边长为2的正三角形，
∴PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD，∠PCH为直线PC与平面ABCD所成的角，
在RT△PCH中，PH=，CH==，
∴∠PCH=45°
（2）由（1）PH⊥平面ABCD，
所以PH⊥CM，连接MH，如图

当CM⊥HM时，会有CM⊥平面PNH，
从而PM⊥CM
由于在△HNC中，，，
HC²=HB²+BC²=a²+1，
由勾股定理得出+=a2+1，
解得a²=8，
a=2。