Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2x+1，m∈R．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）已知f（x）在区间（-2，3）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（-2，3）上恒成立，然后用导数求f（x）的单调递减区间，再对m进行分类讨论建立关于m的不等关系解之即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）当m=1时，f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
又f'（x）=x²+2x-3，所以f'（2）=5．
又f(2)=

5

3

，
所以所求切线方程为 y-

5

3

=5(x-2)，即15x-3y-25=0．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0．…（6分）
（2）因为f'（x）=x²+2mx-3m²，
令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）
当m=0时，f'（x）=x²≥0恒成立，不符合题意．…（9分）
当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（-3m，m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则

-3m≤-2 m≥3.

解得m≥3．…（11分）
当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，-3m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则

m≤-2 -3m≥3.

，解得m≤-2．
综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤-2．…（13分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．本题考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．