Question

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当|CD|=

3

2

2

时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：

OP

•

OQ

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；
（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入

OP

•

OQ

即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=

2

，
椭圆的方程为

y2

2

+x2=1，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

，
∴|CD|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( - 2k k2+2 )2+4 1 k2+2

=

2 2( k2+ 1)

k2+2

=

3

2

2

，
解得k=±

2

．
∴直线l的方程为y=±

2

x+1；
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

∴P点的坐标为（-

1

k

，0），
由（Ⅰ）知x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

，
且直线AC的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)，且直线BD的方程为y=

y2

x2-1

(x-1)，
将两直线联立，消去y得

x+1

x-1

= 

y2(x1+1)

y1(x2-1)

，
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴

x+1

x-1

与

y2

y1

异号，
(

x+1

x-1

)2=

y22(x1+1)2

y12( x2-1)2

=

2-2x22

2-2x12

•

(x1+1)2

(x2-1)2

=

(1+x1)(1+x2)

(1-x1)(1-x2)

=

1- 2k k2+2 - 1 k2+2

1+ 2k k2+2 - 1 k2+2

=(

k-1

k+1

)2，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=k2(-

1

k2+2

) +k( - 

2k

k2+2

)+1=-

2(1+k)2

k2+2

k-1

k+1

，
∴

k-1

k+1

与y₁y₂异号，

x+1

x-1

与

k-1

k+1

同号，
∴

x+1

x-1

=

k-1

k+1

，解得x=-k，
故Q点坐标为（-k，y₀），

OP

•

OQ

=（-

1

k

，0）•（-k，y₀）=1，
故

OP

•

OQ

为定值．

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．