Question

△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的周长为2，用a与b表示出c，代入已知的等式，得到a与b的关系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此时a与b的关系，进而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，得到ab的最大值，并求出此时a与b的值，最后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinC及a和b的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：解：（1）由a²-ab+b²=c²，得a²+b²-c²=ab，
利用余弦定理得cosC==，
∵C为三角形的内角，
∴；
（2）由a²-ab+b²=c²=（2-a-b）²，即3ab+4=4（a+b），
而 ，当且仅当a=b时取等号，
即，
即，
解得：或≥2（舍去）
所以，又sinC=，
则S_△ABC=，
当时，S_△ABC有最大值为．
点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函数值以及三角形的面积公式，灵活运用基本不等式 ，（当且仅当a=b时取等号）是求出三角形的最大面积的关键．