Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，设F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值；
（3）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（2）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据k≤

1

2

恒成立将a分离出来，a≥(-

1

2

x02+x0)max，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（3）根据x≥e，所以xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

，令h(x)=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞)，根据h'（x）的符号判定h（x）的单调性，求出最小值，即可求出a的范围．

解答：解：（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a

x

(x＞0)，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．（2分）
因为a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2）F′(x)=

x-a

x2

(0＜x≤3)，k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

(0＜x0≤3)恒成立，（7分）
即a≥(-

1

2

x02+x0)max，当x₀=1时取得最大值

1

2

．所以，a≥

1

2

，所以amin=

1

2

．（10分）
（3）因为x≥e，所以xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

，令h(x)=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞)，则h′(x)=

x-lnx-1

(x-1)2

．（12分）
因为当x≥e时，(x-lnx-1)′=1-

1

x

＞0，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以h(x)min=h(e)=

e

e-1

，所以0＜a≤

e

e-1

．（16分）

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及在某点处的切线问题和函数恒成立问题等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．