Question

【题目】已知下图中，四边形 ABCD是等腰梯形， ， ，O、Q分别为线段AB、CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得，连结AD、BC，得一几何体如图所示．

(Ⅰ)证明：平面ABCD平面ABFE；

(Ⅱ)若上图中， ，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：(1)先根据， 得⊥平面，故，结合勾股定理，由线面垂直判定定理可得 平面，由面面垂直判定定理可得结论；（2）以为原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，可求得面的一个法向量，面的一个法向量，求出向量夹角即可.

试题解析： (1)证明：在图中，四边形为等腰梯形， 分别为线段的中点，

∴为等腰梯形的对称轴，又// ，

∴、，①

在图中，∵，∴

由①及，得⊥平面，∴，

又，∴ 平面，

又平面，∴平面平面；

(2)在图中，由 ， ，易得， ，

以为原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、

得，

设是平面的一个法向量，

则，得，

取，得

同理可得平面的一个法向量

设所求锐二面角的平面角为，

则=

所以平面ADE与平面所成锐二面角的余弦值为．