Question

【题目】设函数 ，.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数在上的最小值(为自然对数的底数)；

(3)是否存在实数，使得对任意正实数均成立？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）详见解析（3）当且仅当时，符合题意

【解析】

(1)由题意，求得函数的导数，进而求得，，即可求得切线的方程；

(2)求得函数的导数，分类讨论得到函数的单调性，进而可求解函数的最值。

(3)由题意，令，求得函数的导数，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可作出求解。

(1)因为函数，且，

所以，

所以

所以，

所以曲线在处的切线方程是，即

(2)因为函数，所以

1°当时，，所以在上单调递增.

所以函数在上的最小值是

2°当时，令，即，所以

令，即，所以

（i）当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是

（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调

递增，所以在上的最小值是

（iii）当，即时，在上单调递减，

所以在上的最小值是

综上所述，当时，在上的最小值是

当时，在上的最小值是

当时，在上的最小值是.

(3)令，

则，且

若，即，得.

若时，，

令，则，则在上是增函数，

而，则有

当时，，当时，，

所以当时，有极小值，也是最小值，则有

成立

当时，，（），

则，

所以在内存在，使，即当时，有，

则在是减函数，则有，即这与不符，

则不成立；

当时，

，

则在是增函数，则有，即这与不符；

当时，则，则有

，这与不符合.

绽上所述，当且仅当时，在定义域上恒成立.