Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC上的一点，且AE∥平面DCC₁D₁，求线段BE的长度．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点O，易证得B、O、D三点共线，进而BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，再由线面垂直的性质得到BD⊥AA₁；
（2）由AE∥平面DCC₁D₁，结合线面平行的性质定理可得AE∥CD，结合已知及等边三角形三线合一，可得E为BC的中点，进而得到线段BE的长度．

解答：证明：（1）取AC的中点O，连接DO，BO
由AD=CD，AB=BC可得
DO⊥AC，BO⊥AC，
故B、O、D三点共线
即BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
解：（2）∵AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1
故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC为等边三角形
∵AE∥平面DCC₁D₁，
AE?平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC₁D₁=CD
故AE∥CD，故∠CAE=30°
根据等边三角形三线合一，可得AE为△ABC中BC边上的中线
故BE=

1

2

BC=

3

2

点评：本题考查的知识点是面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，（1）的关键是证明BOD三点共线，（2）的关键是分析出AE是正三角形ABC的中线．