Question

在直角坐标系中，有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对每一个正整数n，点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象上，点P_n和点（（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（I） 求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（II） 记c_n=，n∈N₊．
①证明；
②是否存在实数k，使得对一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得，然后由点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象可求b_n
（Ⅱ）①由c_n==2n-1，然后利用错位相减求和方法可求，然后进行证明
②由k恒成立，要求k的范围，利用函数的单调性求解g（n）的最小值，从而k≤g（n）的最小值，即可求解k的范围
解答：解：（Ⅰ）∵P_n（a_n，b_n），（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形
∴       …（2分）
又因为点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象
∴b_n=log₃（2n-1）…（4分）
（Ⅱ）①∵c_n==2n-1------------------（5分）
设D_n=
则D_n=①
∴        ②…（6分）
由①-②得：
∴
=1+2-
=3-＜3--------（9分）
②由已知得k对一切n∈N₊均成立．
∴=×
==＞1-------（12分）
∴g（n）单调递增．最小值为g（1）=--------（13分）
又∵k≤g（n）对一切n∈N₊均成立．
∴k．
…（14分）
点评：本题主要考查了数列的递推公式的应用，错位相减求和方法的应用，及函数的单调性在求解函数的最值中的应用，函数的恒成立与函数最值求解的相互转化．