Question

已知椭圆C的焦点F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），长轴长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；
（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理可求x₁+x₂的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意知，2a=6，c=2

2

，∴a=3，b²=a²-c²=9-8=1，
椭圆C的标准方程为：

x2

9

+y2=1；
（2）由

x2 9 +y2=1 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

36

10

=-

18

5

，
∴线段AB中点横坐标为-

9

5

，代入方程y=x+2得y=-

9

5

+2=

1

5

，
故线段AB中点的坐标为（-

9

5

，

1

5

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，韦达定理、弦长公式、中点坐标公式是该部分常用的内容．