Question

设

a

，

b

，

c

是三个非零向量，给出以下四个命题：
①若

a

•

b

+|

a

||

b

|=0，则

a

∥

.

b

；
②若

a

2=

b

2，则

a

=

b

或

a

=-

b

；
③若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，则

a

⊥

b

；
④若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

．
则所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角判断出①对；通过举反例判断出②④错；利用向量模的平方等于向量的平方及向量垂直的充要条件判断出③对．

解答：解：对于①设

a

，

b

夹角为θ，∵

a

•

b

+|

a

||

b

|=0，∴cosθ=-1，∴θ=π∴

a

∥

.

b

故①对，
对于②，例如所有的单位向量的模都相等，但不一定共线，故②错，
对于③，∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，∴平方得

a

•

b

=0，∴

a

⊥

b

故③对，
对于④，例如

a

=(1，1)，

b

=(1，-1)，

c

=(2，-2)，满足

a

•

b

=

a

•

c

但

b

=

c

．
故答案为①③．

点评：本题考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方．