Question

（本小题满分12分）

已知直线l：y=x，圆C₁的圆心为（3，0），且经过（4，1）点.

（1）求圆C₁的方程；

（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点A、B分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|AB|的最小值；

（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒.问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，设圆的方程为　………1分

∵　圆经过点

∴　　　…………2分

∴　圆的方程为　　…………3分

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知，圆的圆心的坐标为，半径为 

到直线的距离

　　　…………5分

∴　圆到直线的最短距离为　…………6分

∵　圆与圆关于直线对称

∴　．　　　　　…………7分

方法二：∵圆与圆关于直线对称.

∴ 圆圆心为（0，3），半径为 ……………5分

∴ ||=

∴ =-2×= ………………7分

（Ⅲ）当运动时间为秒时，，

则　　　                  …………8分

由可设点坐标为（），

则　　       　

解得，即　   　　

∴　　　　　　　　

∴　直线方程为，即　……………10分

若直线与圆相切，则到直线的距离

　　…………11分

解得　

答：当时，直线与圆相切　　…………12分

考点：利用点的对称求最值与圆的方程直线与圆的位置关系

点评：求与圆上的动点有关的距离最值问题通常先求出到圆心的距离